排队论在高速公路收费站服务台设计和管理中的应用

Application of Queuing Theory in Design and Management in Toll Station of Highway

摘要：

本文在高速公路收费站服务台的设计与管理中运用排队论进行定量分析，运用排队论知识对其进行优化和设计并建立合适的数学模型。通过对模型的优化设计，建立高速公路收费站服务台与工作人员的配备模型，对避免盲目确定收费亭建设规模大小，提高收费站服务台的服务和管理水平，降低运营成本等有着重要的作用。

关键字：排队论、高速公路收费站服务台、优化、数学模型

Keyword:Theory of Queuing; Toll Station of Highway; Optimization;Mathematic Models.

    1、概述

随着国民经济的快速发展，人们的生产生活节奏越来越快，这就要求交通为我们提供一个快捷和安全的平台。可以说，高速公路的出现，极大程度地满足了人们的出行需求。但近年来由高速公路带来的问题不容忽视，就在今年召开的“两会”当中，解决高速公路收费站的问题成为百姓十大愿望之一。在交通高峰期，收费站处经常出现拥挤现象，甚至车辆在收费广场内多次变换车道、抢占收费车道，大大提高了车辆间发生交织和冲突的几率；而且在恶劣天气条件下，能见度低，驾驶员在接近收费站的过程中没有充足的反应时间，可能导致减速不及时，造成追尾事故。

自然天气我们无法左右，那么我们能否通过对收费站服务台的管理来缓解和控制收费站交通拥挤呢？本文通过对在收费亭的设计与管理中运用排队论知识进行定量分析，对避免盲目确定收费亭建设规模大小，提高收费亭的服务和管理水平，降低运营成本等有着重要的作用。

2、排队论的基本原理

2.1、基本概念

排队是日常生活和工作中常见的现象，因为我们在日常生活中为了得到某种公共服务经常要排队。如道路红绿灯系统、超市的收银系统、电话通讯系统等。一些排队系统的构成十分明显，而另一些排队系统的构成可能很模糊。一个排队系统由输入、队列、服务台和输出四部分构成。输入描述的是顾客出现在排队系统中的方式，人们通常用某种带有任意参数和适当简化假设的随机过程来表示它。顾客到达时，如果所有服务台都正在被占用，顾客可能选择随即离去或排队等待。随即离去的系统称为即时制系统或损失制系统，排队等待的系统称为等待系统。系统如果有多个服务台，各服务台可以有各自独立的队列，也可以有一个公共的队列。队列可以是具体的也可以是抽象的，可以是有限的也可以是无限的。一个排队系统中可以有一个服务台，也可以有多个服务台。对于多服务台来讲，各服务台可以串联、并联也可以混联。输出是指顾客从得到服务到离开服务系统的情况，由于一结束服务顾客即刻离开服务系统，所以输出是通过服务时间来加以描述的。可以用图1来对排队系统来加以描述。

2.2 M/M/C/∞/∞/FCFS模型

高速公路上的车辆陆续到达收费站，依次接受收费服务，然后离开收费站。如果到达的车辆不能及时得到服务，就产生了排队现象。高速公路收费系统，是一个典型的排队系统。其中最具有代表性的收费站系统即是满足M/M/C/∞/∞/FCFS的排队系统，上述符号表示：M:车辆到达时间间隔服从负指数分布；M:收费服务时间服从负指数分布；C:收费站有C个收费亭；∞:系统能容纳无限多个车辆；∞:道路上的车源也是无限的；FCFS:系统采用先到先服务的规则。此排队系统中，车辆排队方式是多路排队多通道服务：指每个通道各排一个队，每个通道只为其相对应的一队车辆服务，车辆不能随意换队。此种情况相当于C个M/M/1系统组成的排队系统。

在讨论排队模型时，将用到的一些符号和定义如下：

——系统顾客为n时的平均到达强度（到达强度以单位时间内到达的顾客数表示）；

——系统顾客数为n时服务员平均（期望）服务强度（服务强度以单位时间内服务的顾客数表示）；

P ——系统在时刻t有n个顾客的概率；

C——系统服务员数目。

本文主要研究和计算的数量指标有：

L——系统期望顾客数，亦称队长；

——系统期望排队顾客数，亦称排队长；

   W——顾客在系统的期望停留时间；

——顾客在系统的期望等待时间；

2.3计算公式

设车辆平均到达强度为 （辆/小时），系统服务员平均服务强度为 （辆/小时），交通强度 ， 。如果 < 1,则系统稳定；如果 >1，系统的排队长度将会无限增大，出现“爆炸”现象。因此要调整平均到达强度 ，使满足条件是 ，保持稳定状态即确保排队能够消散；如果系统是稳定的，但排队和等待时间很长，也要调整平均到达强度，使其排队长和等待时间在我们预定的期望值内。

由 (0< <1),有

                          2-3-1

                      2-3-2

根据几何级数求和的公式，有

                                      2-3-3

代入（2-3-2），得

                                  2-3-4

将式（2-2-2）代入式（2-2-1），得

                  n。         2-3-5

队长

L= = =

= = =                            

或

                  L=                         2-3-6

排队长

       = = = 。

将式（2-3-4）和（2-3-6）代入上式，得

                                    2-3-7

利用已求得的L和 ，可按下式求出顾客平均停留时间W和平均等待时间 。

                                         2-3-8

                                        2-3-9

3、应用举例：

某条高速公路出口收费站有四个出口收费通道，某高峰时段之内平均车辆到达强度 =1600辆/h，服从泊松分布；每个收费窗口服务一辆汽车的平均时间为8s，并且符合负指数分布。

3.1 现状分析

    此收费站系统正是典型的M/M/C排队系统，由于是多路排队多通道服务方式，所以此收费站就等价于4个M/M/1系统，我们只需分析其中的一个收费通道。

下面对收费站的各项服务指标进行分析：

收费站的平均车辆到达率为 ，则每一个收费通道的平均车辆到达率为 /4=400辆/h；

每个收费窗口平均服务率

=3600/8=450辆/h;

每个收费窗口的服务强度

= = =0.889<1,这说明该服务系统是稳定的。

每个收费窗口的平均队长

 L= = =8（辆）

每个收费窗口的平均排队长

= （辆）

每个收费窗口的平均停留时间

每个收费窗口的平均等待时间

=0.0178（h）=64（s）

3.2结果分析

上述现状分析我们仅针对此高速公路某高峰时段的交通状态而得出的相对应的各项指标，系统中 <1，说明该收费站设置已经在很大程度上超过了交通流量的需求，根据调查的资料可知，在该系统中车辆的队列不会越来越长，因此该收费站的设置可以满足高峰时段要求。然而，高速公路上的交通情况随着时间、天气等各种因素的变化而变化，我们不仅要收费站服务台窗口满足高峰时段的需求。还要根据资料分析出公路上的交通状态，确定不同时段收费站服务台窗口的数目，从而降低收费站服务台的运营成本。

4 小结

本文运用排队论模型来实现对收费站服务台窗口的控制方案，能够缓解收费站的拥挤程度，对减少运营成本，有效地提高服务水平，效果显著。

但是，由于交通流状况千变万化，我们不能精确选择与之相对应的控制方案；另一方面，由于本文将车辆考虑成具有流体的性质，实际上并非是理想的流体，两者之间存在一定的差距。

参考文献：

【1】排队论-基础与分析技术.唐应辉 唐小我 科学出版社 2006-1

【2】排队论基础.孙荣恒 李建. 科学出版社.2002-10

【3】管理运筹学.焦永兰. 中国铁道工业出版社.2000-3